目前分類:科普講座數學玩玩 (25)

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  1. 任何正奇數的平方扣掉1一定是4的倍數,為什麼?

    例如11-1=120,120=30╳4

  1. 如果是這樣,那麼在9╳9的正方形格中,隨意扣掉一格是否一定可以用四單位L型所排滿呢?

    例如,你可以用以下圖(1)去排滿(2),(3),(4)圖淡黃色的部分嗎?

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    圖(1)四單位L型

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  前面提過畢達哥拉斯學派認為宇宙是由整數所構成,當一個數不是整數時,他們用比例的概念來解釋這個狀況,同時認為如果一個數不是整數,那就會是一個整數的比例。畢達哥拉斯主張構成線段的點是有大小的,假設一個具備大小的點長度為dd是一個大於0的數,所以任何兩條線段a,b的長度就可以寫成:

  a=md , b=nd 

於是:a:b=md:nd=m:n

  這也就是說,宇宙間的萬物都可以由兩個大於0的整數比值構成,是可共度的(commensurable) ,意思是說可以找到共同的最小單位,也可以說是原子論的觀點。

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  不能說的數,故事要從畢達哥拉斯和畢氏定理說起。

古希臘數學家畢達哥拉斯和他的學生奉行數字至上的信念,混合了敬神儀式和數學教義,成為一個神祕的學派。這個學派對數字的痴迷發展出一個奇異的宇宙論,認為整數是構成宇宙萬物的最基本單元,研究整數的比值和平方等算術是探究真理的唯一途徑。

  畢達哥拉斯發現並證明了直角三角形三個邊長之間的關係:兩個直角邊邊長的平方和等於斜邊長的平方。這就是著名的畢氏定理──如果直角三角形的兩條直角邊長為ab,斜邊長為c,畢氏定理用數學式表達就會是下面的式子:a+b=c

  現在直角的兩邊相等而且長度都為1,我們想要計算斜邊c的長度。根據畢氏定理,計算出c的平方等於2c的平方等於2,要求c的值就要引入一個新的數學定義叫做開根號。在這個例子裡c的值要對2開根號,求得2的平方根,數學記號記成:√2

        直式開方法:

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​​​​​​​​​​​​一月廿六日 天氣晴

  過年前的最後一周,在虎尾厝沙龍進行了第一次的數學玩玩的課程活動!

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  原本預計要說說畢達哥拉斯的故事,可惜來的小朋友太小,無法領略其中奧妙,只好馬上改變課程,先來玩玩吧!

  先用巴克球介紹正四面體:正四面體是由四個等邊三角形組成的正多面體,是一種錐體,有4個頂點、6條邊和4個正三角形面。孩子一開始會怕自己無法完成這個活動,但經過鼓勵後,孩子在學會各種訣竅後,馬上愛不釋手!

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  那麼前面N個正立方體數的和是多少呢?

    1+2+3+4+5+6+……+N=?

  先前日本的數學家言葉的解法的右圖,如果把它變成圖形,就會是以下的樣子!

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正立方體就是長寬高都一樣的長的長方體,換成數字就是立方數,所以正立方體所形成的數列就是:1、2、3、4、5、6、……

       也就是:1、8、27、64、125、216、……

  那麼前面N個正立方體數的和是多少呢?

    1+2+3+4+5+6+……+N=?

  在此我們先介紹一個日本的數學家言葉的解法!

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  佛家說:教學和學習就像點燈一樣,教導者對數學熱忱去暖化受教者,就像燃燒中的光和熱先去慢慢地將蠟燭融化,流動的蠟流上了燭芯,在熱的摧化下變成汽化,進一步和氧氣發生劇烈的反應開始燃燒,這時便可以自行發光和熱。學習算是順利完成,但很不幸地,很多時候教導者過於熱忱,強烈的光和熱,一下子就把燭芯燒掉,還來不及讓蠟油汽化,這時還要重新安上燭芯,是件難度很高的動作!

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  2019年東海人間工坊寒假生活營,來了幾個中學自學生,只要一談到數學,馬上那種數學學習挫敗感的幽靈就又重新飄了出來,氣氛急轉至冰點以下。做為數學教導者看到大家驚惶失措的樣子,內心有說不出的難過。

  數學玩玩不是要講一個很高明的數學,也是不是講一個很炫麗的數學,只是要回歸學習的本質與應有的快樂!

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  金字塔數與四面體數,二個加起來是多少呢?

     金字塔數=□+□+□+□+……+□

         =1+2+3+4+……+n

     四面體數=△+△+△+△+……+△

              =1+(1+2) +(1+2+3) +(1+2+3+4)+……+(1+2+3+…+n)

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  前面我們是利用金字塔數來計算出四面體數,那有沒有更直接的方法呢?

     四面體數=△+△+△+△+……+△

              =1+(1+2) +(1+2+3) +(1+2+3+4)+……+(1+2+3+…+n)

  我們以一個四面體數來研究,可以把它寫成以下的樣子:

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你還看過像三角粽子那樣的風箏嗎?而且是好多好多個三角粽疊在一起形成的大粽子風箏。這款風箏的發明人大有來頭,乃是現代通信之父貝爾所發明的。貝爾的靈感不是來自於粽子,他是從數學角度思考,採納了「正四面體」這個架構,由6根牙籤和4顆軟糖做出來的正四面體最為穩固。

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  四面體是由四個等邊三角形組成的正多面體,是一種錐體,有4個頂點、6條邊和4個正三角形面。正四面體也是柏拉圖立體中唯一一個所有頂點之間的距離都相等的,同時正四面體也是三維空間中使4個頂點每兩個頂點間距離相等的唯一方式。

  四面體數也被稱為三角錐體數,四面體數是可以排成底為三角形的錐體(即四面體)的數。四面體數每層為三角形數,那麼四面體數是多少呢?

  我們可以先把

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  金字塔數=1+2+3+4+…+n

  那麼這個金字塔數是多少呢?

  之前我們談了小石子解法、現在我們來談談代數解法。

  先來研究(x+y)=?

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  金字塔(Pyramid)是古文明的代表是一部特殊的歷史,它記載著埃及的歷史和傳說。Pyramid作為錐體建築的專有名詞已有兩千年,幾何學上此字就是指錐體,然而在建築學與考古學上,Pyramid最初是指古埃及法老的方錐體陵墓,直至後來發現了其他古文明也有相同類型的建築物時,才開始延伸至指所有的錐體狀建築物。金字塔在建築學、數學、幾何學、物理學等方面給後人留下了那麼多神奇的、有趣的而又充滿智慧的暗示,和許多待解之迷。

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  今天來談談金字塔數,在幾何學上Pyramid就是指錐體。在數學中,金字塔數又稱四角錐數,是一個以正方形數基礎(底面為正方形),表示有多少球堆積成一個金字塔(見圖選自網路) 。

  如果寫成數學的式子,就會變成

  金字塔數=1+2+3+4+…+n

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  丟番圖是約公元246-300年古希臘亞歷山大後期的重要學者和數學家,被譽為代數學的鼻祖,希臘數學自畢達哥拉斯學派後,數學重心就在幾何,只有經過幾何論證的命題才是可靠的,為了邏輯的嚴密性,代數也披上了幾何的外衣。直到丟番圖,才把代數解放出來,擺脫了幾何的羈絆,丟番圖認為用代數方法比幾何的演繹陳述更適合於解決問題,而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨創性,在希臘數學中獨樹一幟,被後人稱為『代數學之父』。

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(圖選自網路)

  繼畢達哥拉斯學派和伯拉圖的基礎上,丟番圖更進一步地研究畢氏三元數:

先從前一講所說的和平方與差平方二個公式觀察起:

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  希臘數學自畢達哥拉斯學派後,數學重心就在幾何,只有經過幾何論證的命題才是可靠的,為了邏輯的嚴密性,代數也披上了幾何的外衣。雖然是代數的乘法公式,但我們也從四角形數的觀點來討論一下!

1.分配律: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

  例子(3+4)(3+2)= 3╳3 +3╳4+2╳3+2╳4

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2.和平方:(a+b)=a+2ab+b

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  柏拉圖為推動數學是感官物質世界跨向理念世界之路,因此他將數學置於崇高的地位,並強調其重要性,也在其著作中反覆強調數學具有培養思維的能力,增進才智的重要作用。他說:「學過幾何的人在學習其它學問時,要比未學過幾何的人快得多。」

  柏拉圖在四十歲時(約公元前387年),結束旅行返回雅典,並在雅典城外西北角創立了自己的學校—即著名的柏拉圖學院,據說在他的學園門口寫著『不懂幾何著,不得入內』的銘文。這所學院成為西方文明最早的有完整組織的高等學府之一,後世的高等學術機構也因此而得名,也是中世紀時在西方發展起來的大學的前身。學院存在了900多年,直到公元529年被查士丁尼大帝關閉為止。學院受到畢達哥拉斯的影響,課程設置類似於畢達哥拉斯學派的傳統課題,包括了算術、幾何學、天文學以及聲學。

  柏拉圖並不是數學家,但他相當熱衷數學,柏拉圖是用哲學家的眼睛在看數學,這對數學的進步很有意義。因為他認為數學對哲學非常重要,對於宇宙之探討也有很大的助益,他認為整個物質世界是依照數學規律來設計的,即“創造世界的偉大之神永遠按幾何規律來設計物質世界”只有通過數學才能領悟物質世界的實質,數學觀念正是哲學觀念的基礎,是認識理型世界的必備條件。

  在畢氏學派研究畢氏三元數的基礎上,柏拉圖又進一步地研究並提出一另套畢氏三元數的公式。

  在畢氏學派研究畢氏三元數的特徵是這些畢氏三元數有一特徵:斜邊與直角的其中一邊相差1,如果將k表為2m + 1,則上述的畢氏三元數也可以表為(2n + 1, 2n + 2n, 2n + 2n + 1) 。

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天文學家克卜勒說:「幾何學有兩個寶貝,一個是畢氏定理,另一個是黃金分割。前者如黃金,後者如珍珠。」畢氏定理是歐氏平面幾何學的核心結果,一切初等幾何學的計算永遠離不開它,以它為中心,可以將一大部分的數學連結起來。

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追溯歷史的發展,畢氏定理中的畢氏即指古希臘的畢達哥拉斯(Pythagoras,約西元前580-550年),他是公元前五六世紀時的古希臘數學家。相傳畢達哥拉斯發現這個定理後,宰了頭牛來慶祝,故「畢氏定理」又稱「百牛定理」。

畢氏定理又稱「商高定理」、「陳子定理」、「勾股定理」,有十分悠久的歷史,但且畢達哥拉斯並非歷史上最早發現定理者,幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究與發現。但以希臘著名數學家畢達哥拉斯和他們弟子們所組成的畢氏學派對除了證明這個定理,也證明了存在無限多組畢氏三元數,還找到畢氏三元數無限多組的公式,所以用畢氏定理來稱乎應是最合理的!

在畢氏定理中,如個三個數都是整數,這三個數被種為畢氏三元數:一般熟知的(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17)......等等,是否存在一個公式可以找出所有的畢氏三元數呢?

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  十三世紀的意大利數學家費波那契(Fibonacci)寫了一本書叫做《Liber abacci》。在書中提出了一個有趣的問題:假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子,其後每隔一個月又可以再生一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對剛生下來的一對小兔子,請問一年以後籠子裏應該有幾對兔子?

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(圖出自國語日報兒童報)

  讓我們慢慢地算一下。一月底,一對小兔子長成大兔子,二月底一對大兔子生了一對小兔子,三月底一對大兔子又生了一對小兔子,但是第二代的那對小兔子還沒成熟,還不能生小兔子,所以總共有三對。四月底,第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子,連同三月底所有的三對,現在一共有五對了。五月底,在三月底已經有的三對兔子各生一對小兔了,連同四月底所有的五對兔子,現在一共有八對了。

  依此類推,每個月底所有的兔子對數應該等於前一個月底所有的兔子對數(也就是原有的兔子對數)加上前兩個月底所有的兔子對數(這些兔子各生了一對小兔子)。所以每個月底的兔子對數應該是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…,每一項都是前兩項之和。現在假定十二代同堂,那麼一年後籠子裡應該有233對兔子了。

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  「給定一個長與寬都是正整數的長方形,起先用刀子割去最大可能的正方形;剩下部分再割去最大可能的正方形;……;如此進行下去,直到最後剩下的長方形是正方形就停止。最後的正方形的邊長是什麼呢?」

  答:長和寬的最大公因數。

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  如列圖就是一個□14╳10的長方形先割去□10、在割去2個□、最後剩下2個□。最後的正方形數□邊長2就是10和14的最大公因數。

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  自然萬物都是有曲線的,人類創造事物卻從四角形開始,四角形的書、四角形的門、四角形的畫面......而四角形數也是以原子論為觀點的畢氏學派的最基本形,三角形如果是底和高都是1那麼面積只有一半,這和原子論的觀點矛盾,以圖形來看,線如果存在最短單位長度,那麼面就存在最小單位面積就是長和寬都是單位長度,也就是一個單位面積,而這是從正方形開始,因此所有的數都是四角形數!

   四角形數正確來說是指矩形數才對,因為四角形還包括不規則四角形、梯形、箏形等狀況,而菱形和平行四邊形則是矩形的一種排列方式,也應視為矩形。矩形數可以分成二類,長和寬不一樣長度的長方形數和四邊長一樣的正方形數。為了方便我們把正方形數則寫成□:意思就是邊長為n的正方形數;而長和寬不一樣長度的長方形數寫成□n╳m,其中n指的是高,而m指的是底,所以□a╳b和□b╳a是不一樣的矩形數。

  例如:□2╳3,□3╳2

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  所有的數都是四角形數,但可以排成幾個四角形數呢?就不一定了!我們先從前面幾個來討論一下:

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  玉衡心裏想:一個三角形數△無法從圖形來分割成二個三角形數△,為了解決老師的問題,於是玉衡於是找了開陽、瑤光一起來討論。

  開陽想到了第三講中的三角形數底座數列P(n)=△n-△n-1,n為自然數。

  P(n):1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,...

  開陽把三角形數底座數列P(n)又同為三角形數△的劃出來。

  瑤光突然說:「對!對!對!就是這樣。」

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