吉祥農場

你還看過像三角粽子那樣的風箏嗎？而且是好多好多個三角粽疊在一起形成的大粽子風箏。這款風箏的發明人大有來頭，乃是現代通信之父貝爾所發明的。貝爾的靈感不是來自於粽子，他是從數學角度思考，採納了「正四面體」這個架構，由6根牙籤和4顆軟糖做出來的正四面體最為穩固。

　　四面體是由四個等邊三角形組成的正多面體，是一種錐體，有4個頂點、6條邊和4個正三角形面。正四面體也是柏拉圖立體中唯一一個所有頂點之間的距離都相等的，同時正四面體也是三維空間中使4個頂點每兩個頂點間距離相等的唯一方式。

　　四面體數也被稱為三角錐體數，四面體數是可以排成底為三角形的錐體（即四面體）的數。四面體數每層為三角形數，那麼四面體數_ｎ是多少呢？

　　我們可以先把

　　　四面體數_ｎ=1+(1+2) +(1+2+3) +(1+2+3+4)+……+(1+2+3+…+n)

　　　　　　　　         =△_１+△_２+△_３+△_４+……+△_ｎ

　　   之前我們討論過，□_ｎ=△_ｎ-１+△_ｎ，利用這個特性，我們拿出一個金字塔數_ｎ來討論：

　　　金字塔數_ｎ=□_１+□_２+□_３+□_４+……+□_ｎ

　　　　　　　 =△_１+(△_１+△_２) +(△_２+△_３) +(△_３+△_４)+……+(△_ｎ－１+△_ｎ)

　　　　　　　=2(△_１+△_２+△_３+△_４+……+△_ｎ－１+△_ｎ) -△_ｎ

　　　　　　　=2(四面體數_ｎ)-△_ｎ

　　 就可以推出

　　　四面體數_ｎ=(金字塔數_ｎ＋△_ｎ)/2

　　　若從

　　　　金字塔數_ｎ=□_１+□_２+□_３+□_４+……+□_ｎ

　　　　　　　 　  =△_１+(△_１+△_２) +(△_２+△_３) +(△_３+△_４)+……+(△_ｎ－１+△_ｎ)

　　　　　　 =(△_１+△_２+△_３+△_４+…+△_ｎ－１)+(△_１+△_２+△_３+…+△_ｎ)

　　　　　　　                 =四面體數_ｎ－１+四面體數_ｎ

　　　可以知道，一個金字塔數，可以拆成二個差一階的四面體數。

問題與討論：

　　問題一：有沒有一個四面體數可以拆成二個四面體數相加呢？

　　問題二：正四面體風箏的另一個好處是：可以用很多小正四面體風箏，組合成一個大型的正四面體風箏。當你有4個小正四面體風箏時，你可以把3個排在一個平面上，再把第四個疊在他們上面。剛好，底下3個正四面體的頂點，會跟疊在上方的第四個正四面體的三個頂點重合。換句話說，你不僅可以疊起來，還可以拿掉3顆糖果，省下三個節點的重量！數學家分析發現，當越多小的正四面體風箏組合起來時，可以省下越多節點重量。那麼本文的圖是幾個小正四面體組合起來的呢？

　　　歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱：guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號，數學玩玩收．答的好的朋友將致贈薄禮！

文／施朝祥2019.1.9于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場