吉祥農場

　　金字塔數_ｎ=１^２＋２^２＋３^２＋４^２＋…＋ｎ^２

　　那麼這個金字塔數是多少呢？

　　之前我們談了小石子解法、現在我們來談談代數解法。

　　先來研究(x+y)^３＝？

　　我們以x+y為邊長的正立方體，如果我們把他切出x^３, y^３發現還有三塊長寬高各為x,y, x+y的長方體（見圖）。在把小長方體長度x+y部分切開，得到長寬高各為x,y,y和x,y,x的長方體的長方體各一塊。

　　那麼就可以把整理成(x+y)^３= x^３+y^３+3xy(x+y) = x^３+3x^２y +3xy^２+ y^３把這個式子當預備定理。

　　利用上面的式子，並改寫成 (k+1)^３=   k^３  +  3k^２ +  3k   +   1

　　從k=1開始列起

　　(1+1)^３=   1^３  +  3╳1^２ +  3╳1 +   1

　　(2+1)^３=   2^３  +  3╳2^２ +  3╳2 +   1

　　(3+1)^３=   3^３  +  3╳3^２ +  3╳3 +   1

　　    ……

　　(n+1)^３=   n^３  +  3╳n^２ +  3╳n+   1

　　將式子整理一下，會變成以下樣子

　　2^３=   1^３  +  3╳1^２  +  3╳1    +   1

　　3^３=   2^３  +  3╳2^２  +  3╳2      +   1

　　4^３=   3^３  +  3╳3^２  +  3╳3      +   1

　　    ……

　　n^３= (n-1)^３ +  3╳(n-1)^２+  3╳(n-1) +   1

　　(n+1)^３= n^３ +  3╳n^２ 　 +  3╳n 　  +   1

　　這時將左邊相加也會等於右邊相加，其中2^３,3^３, 4^３,……, n^３都會先抵消掉，最後剩下：

　　(n+1)^３= 1 + 3╳(1^２+2^２+3^２+4^２+…+ｎ^２)+ 3╳(1+2+3+4+…+ｎ) +1╳ｎ

整理後就會得到公式

　　金字塔數_ｎ=１^２＋２^２＋３^２＋４^２＋…＋ｎ^２=

　　這個代數解法，是我國二數學老師沈守彬，在上完數學歸納法後，問的一個問題：如果我們不知道１^２＋２^２＋３^２＋４^２＋…＋ｎ^２=？的結果，那麼就無法使用數學歸納法，要如何去先找到推導出公式果結呢？

　　沈守彬老師當年用的就是代數法，當時我看到老師在黑板上寫出時，心想怎麼會想到這種方式呢？我看得是如癡如迷，但是班上多數同學竟然無感……

問題與討論：

　　問題一：有沒有一個金字塔數可以拆成三個金字塔數相加？

　　　歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱：guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號，數學玩玩收．答的好的朋友將致贈薄禮！

文／施朝祥2019.1.1于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場