吉祥農場

　　柏拉圖為推動數學是感官物質世界跨向理念世界之路，因此他將數學置於崇高的地位，並強調其重要性，也在其著作中反覆強調數學具有培養思維的能力，增進才智的重要作用。他說：「學過幾何的人在學習其它學問時，要比未學過幾何的人快得多。」

　　柏拉圖在四十歲時（約公元前387年），結束旅行返回雅典，並在雅典城外西北角創立了自己的學校—即著名的柏拉圖學院，據說在他的學園門口寫著『不懂幾何著，不得入內』的銘文。這所學院成為西方文明最早的有完整組織的高等學府之一，後世的高等學術機構也因此而得名，也是中世紀時在西方發展起來的大學的前身。學院存在了900多年，直到公元529年被查士丁尼大帝關閉為止。學院受到畢達哥拉斯的影響，課程設置類似於畢達哥拉斯學派的傳統課題，包括了算術、幾何學、天文學以及聲學。

　　柏拉圖並不是數學家，但他相當熱衷數學，柏拉圖是用哲學家的眼睛在看數學，這對數學的進步很有意義。因為他認為數學對哲學非常重要，對於宇宙之探討也有很大的助益，他認為整個物質世界是依照數學規律來設計的，即“創造世界的偉大之神永遠按幾何規律來設計物質世界”只有通過數學才能領悟物質世界的實質，數學觀念正是哲學觀念的基礎，是認識理型世界的必備條件。

　　在畢氏學派研究畢氏三元數的基礎上，柏拉圖又進一步地研究並提出一另套畢氏三元數的公式。

　　在畢氏學派研究畢氏三元數的特徵是這些畢氏三元數有一特徵：斜邊與直角的其中一邊相差1，如果將k表為2m + 1，則上述的畢氏三元數也可以表為(2n + 1, 2n^２ + 2n, 2n^２ + 2n + 1) 。

若從正方形數□是由連續奇數和所組成1 + 3 + 5 + 7 + … + 23+25 = 13^２來看，那麼偶數的平方數就無法出現在這其中，那偶數的正平方數怎麼處理呢？

　　若從圖形來看，把正方形數□畢氏學派只取一層，那能不能多取一層呢？

　　從這二個方面來思考，任何一個偶數的正平方數□，都可以寫成二個連續正奇數之和，那不就可以決解這個困境。以最簡單的例子正平方數□_４=7+9來看

　　正平方數□_４剛好和前面的畢氏學派結果一樣，但在圖形概念上是不一樣的，在以另外一個例子正平方數□_６=36=17+19

　　1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 +13+15+17+19 = 10^２

　　8^２ + 6^２ = 10^２

在觀察幾組正平方數□_８=64=31+33=(2╳16-1)+(2╳17-1)

　　1 + 3 + 5 + ……+29+31+33 = 17^２

　　15^２ + 8^２ = 17^２

正平方數□_１０=100=49+51=(2╳25-1)+(2╳26-1)

　　1 + 3 + 5 + ……+47+49+51 = 26^２

　　24^２ + 10^２ = 26^２

正平方數□_１２=144=71+73=(2╳36-1)+(2╳37-1)

　　1 + 3 + 5 + ……+69+71+73 = 37^２

　　35^２ + 12^２ = 37^２

經過整理規納後得到a =n^２- 1 , b = 2n , c = n^２+ 1

若依大小來排列變成a =2n , b = n^２- 1 , c = n^２+ 1

(2n , n^２- 1 , n^２+ 1)就是柏拉圖所找到的另一組公式，這些畢氏三元數有一特徵：斜邊與直角的其中一邊相差2。

這組柏拉圖的畢氏三元數公式大致可分為二種：一是和畢氏學派一樣的如(3,4,5)，或是畢氏學派放大的倍數的公式如(6,8,10)、(10,24,26)；另一是新形成的一類如(8,15,17)、(12,35,37)。

問題與討論：

　　問題一：畢氏學派找到了一組斜邊與直角的其中一邊相差1的畢氏三元數公式，柏拉圖所找到斜邊與直角的其中一邊相差2的畢氏三元數公式，若依形數的方式，當然還可以找到斜邊與直角的其中一邊相差3的畢氏三元數公式，你能練習找看看嗎？那麼這組公式又有什麼特徵呢？

　　問題二：但這二組還不是所有解，那麼你能在找看看嗎？

　　　歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱：guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號，數學玩玩收．答的好的朋友將致贈薄禮！

文／施朝祥2018.12.13于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場