吉祥農場

　　自然萬物都是有曲線的，人類創造事物卻從四角形開始，四角形的書、四角形的門、四角形的畫面......而四角形數也是以原子論為觀點的畢氏學派的最基本形，三角形如果是底和高都是1那麼面積只有一半，這和原子論的觀點矛盾，以圖形來看，線如果存在最短單位長度，那麼面就存在最小單位面積就是長和寬都是單位長度，也就是一個單位面積，而這是從正方形開始，因此所有的數都是四角形數！

　　　四角形數正確來說是指矩形數才對，因為四角形還包括不規則四角形、梯形、箏形等狀況，而菱形和平行四邊形則是矩形的一種排列方式，也應視為矩形。矩形數可以分成二類，長和寬不一樣長度的長方形數和四邊長一樣的正方形數。為了方便我們把正方形數則寫成□_ｎ：意思就是邊長為n的正方形數；而長和寬不一樣長度的長方形數寫成□_ｎ╳ｍ，其中n指的是高，而m指的是底，所以□_ａ╳ｂ和□_ｂ╳ａ是不一樣的矩形數。

　　例如：□_２╳３，□_３╳２

　　所有的數都是四角形數，但可以排成幾個四角形數呢？就不一定了！我們先從前面幾個來討論一下：

　　１只有一種□_１

　　２、３、５和７都有二種□_１╳２、□_２╳１；□_１╳３、□_３╳１；

　　　　　　　　　　　　　　□_１╳５、□_５╳１；□_１╳７、□_７╳１。

　　４、９都有三種□_１╳４、□_２、□_４╳１；□_１╳９、□_３、□_９╳１。

　　６、８都有四種□_１╳６、□_２╳３、□_３╳２、□_６╳１；

　　　　　　　　　□_１╳８、□_２╳４、□_４╳２、□_１╳８。

　　從這邊可以觀察出來，有幾個因數就可以排出幾個四邊形數。

　　其中１只有一種，畢達哥拉斯派的宇宙起源論的主要成分是數，畢氏學派可以說是名符其實的「拜數字教」，他們認為每個自然數都有其不凡的意義：數字１是所有自然法則的根源，１是數之始，其餘的數都是１的集合，宇宙的產生是從１，於是萬物遂從而形成，１是萬物之母不能算是數。

　　２、３、５和７都有二種，這種只能排成二種矩形數的就是質數，質數定義：大於1的自然數中，除了1和該數自身外，無法被其他自然數整除的數；或是只有1與該數本身兩個正因數的數。

　　４、６、８和９中都有二個以上的四邊形數，這些數被稱為合數，也稱為合成數，合數定義為：是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數。任一個大於1的整數若不是質數，就會是合數。

　　１、４和９都有奇數個四邊形數，它們都有一個正方形數，被稱為平方數，或稱為完全平方數，平方數定義為：可以寫成某個整數的平方的數，即其平方根為整數的數。如果我們在找幾個完全平方數來研究，就會發現質數的完全平方數只能組三個四邊形數，而合數的完全平方數就會超過三個四邊形數，如16就有□_１╳１６、□_２╳８、□_４╳４、□_８╳２、□_１６╳１。

　　６有是一種特殊的自然數，被稱為完美數，又稱完美數或完備數，完美數定義為：它所有的真因子（即除了自身以外的因數）的和，恰好等於它本身。

　　也就是說６的把除了最高的那個四邊形數□_１╳６、□_２╳３、□_３╳２身疊起來會和最高的那個四邊形數□_６╳１一樣高。

　　這是不是很神奇呢？那不夠高的呢稱為虧數，而超過高的就稱為豐數。

問題與討論：

問題一：把三十以下的自然數做一個四邊形數記錄表嗎？ 如下圖。

問題二：完全數如何求出？是否有無限多個？這兩個問題是數學家們在幾千年前就提出來了！

　　　　我們只能說明那一種偶數是完美數，至於這種偶數是否有無限多個，及有無奇完美數的存在，這就有待後世的努力！你可以試看看嗎？

　　　歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱：guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號，數學玩玩收．答的好的朋友將致贈薄禮！

文／施朝祥2018.12.7　于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場