吉祥農場

　　十三世紀的意大利數學家費波那契(Fibonacci)寫了一本書叫做《Liber abacci》。在書中提出了一個有趣的問題：假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子，其後每隔一個月又可以再生一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對剛生下來的一對小兔子，請問一年以後籠子裏應該有幾對兔子？

（圖出自國語日報兒童報）

　　讓我們慢慢地算一下。一月底，一對小兔子長成大兔子，二月底一對大兔子生了一對小兔子，三月底一對大兔子又生了一對小兔子，但是第二代的那對小兔子還沒成熟，還不能生小兔子，所以總共有三對。四月底，第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子，連同三月底所有的三對，現在一共有五對了。五月底，在三月底已經有的三對兔子各生一對小兔了，連同四月底所有的五對兔子,現在一共有八對了。

　　依此類推，每個月底所有的兔子對數應該等於前一個月底所有的兔子對數（也就是原有的兔子對數）加上前兩個月底所有的兔子對數（這些兔子各生了一對小兔子）。所以每個月底的兔子對數應該是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…，每一項都是前兩項之和。現在假定十二代同堂，那麼一年後籠子裡應該有233對兔子了。

　　這個數列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…就被叫做兔子數列，又被種為費波那契(Fibonacci)數列，或是簡稱為費氏數列。

　　如果把兔子數列寫為數學的形式就是：

　　　Ｆ_１＝１

　　　Ｆ_２＝１

　　　Ｆ_ｎ＝Ｆ_ｎ－２＋Ｆ_ｎ－１

　　費氏數列有許多特殊性質，這邊只舉二個和四方形數有關的列子。

　　性質一：奇數個邊長等於相鄰費氏數的四方形數，的和會變成一個正方形數。因為費氏數列滿足：

　　　　　Ｆ_１Ｆ_２＋Ｆ_２Ｆ_３＋Ｆ_３Ｆ_４＋……＋Ｆ_２ｎ－１Ｆ_２ｎ＝Ｆ_２ｎ^２

　　　　　以Ｆ_８來當例子：

　　　　　1╳1+1╳2+2╳3+3╳5+5╳8+8╳13+13╳21 =21╳21

　　　　　如果把它劃成圖形就會成為以下的樣子。

　　性質二：如果以相費氏數為邊的正方形數，那麼前面項數的和會是後面二項為邊的四方形數。

　　　　　Ｆ_１^２＋Ｆ_２^２＋Ｆ_３^２＋……＋Ｆ_ｎ－１^２＋Ｆ_ｎ^２＝Ｆ_ｎＦ_ｎ＋１

　　　　　同樣以Ｆ_８來當例子：

　　　　　１^２＋１^２＋２^２＋３^２＋５^２＋８^２＋１３^２＝１３╳２１

　　　　　如果把它劃成圖形就會成為以下的樣子。

　　眼尖的人有沒有發現，這二個性質剛好是輾轉相除法的逆運算。

　　不過費伯那契對所提之兔子問題並沒有繼續深入研究，且《算盤之書》後來也少有人知道，直到法國盧卡斯（Edouard Lucas, 1842~1891）發現該數列的許多特性，人們才開始對它產生興趣，數學界更在1963年創辦《費伯納契季刊》，刊登各種與費氏數列有關的文章，竟把許多風馬牛不相及的東西連繫起來。

問題與討論：

問題一：有一個小朋友要走十二層階梯到司令台上，一次只能走一層或二層，那麼請問這個小朋友有幾種方法上司令台。

問題二：兔子數列寫為數學的形式是：

　　　Ｆ_１＝１

　　　Ｆ_２＝１

　　　Ｆ_ｎ＝Ｆ_ｎ－２＋Ｆ_ｎ－１

　　　那麼如果我們把這個數列推廣為：

　　　Ｆ_１＝ａ

　　　Ｆ_２＝ｂ

　　　Ｆ_ｎ＝ｍＦ_ｎ－２＋ｎＦ_ｎ－１

　　　例如

　　　Ｆ_１＝１

　　　Ｆ_２＝３

　　　Ｆ_ｎ＝２Ｆ_ｎ－２＋Ｆ_ｎ－１

　　　那麼上面所討論的四方形數的性質還會存在嗎？

　　　歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱：guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號，數學玩玩收．答的好的朋友將致贈薄禮！

文／施朝祥2018.12.9　于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場