吉祥農場

　　玉衡心裏想：一個三角形數△無法從圖形來分割成二個三角形數△，為了解決老師的問題，於是玉衡於是找了開陽、瑤光一起來討論。

　　開陽想到了第三講中的三角形數底座數列P(n)=△n－△_ｎ－１，n為自然數。

　　P(n)：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,...

　　開陽把三角形數底座數列P(n)又同為三角形數△的劃出來。

　　瑤光突然說：「對！對！對！就是這樣。」

　　那天畢氏學派的學生把，一個正三角形數割出一個最大正方形數後，他想看看會發生什麼好玩的事？

　　有些人不習慣正三角形的排列方式，其實只要1+2+3+….的本質不變，那麼也可以排成直角三角形的方式來研究。以△_５為例作下圖：

　　把一個三角形數△_n割出一塊最大的正方形，要如何割，那麼會面臨二種△_n的形式：n為奇數和偶數二種情況，先取三角形數△_８、三角形數△_９來看現在如何？

　三角形數△_８取到最大的正方形數是□_４而剩下二個三角形數△_４，由前第三講時可知正方形數是□_４是由三角形數△_３和三角形數△_４組成。

　　△_４被稱畢氏學派聖十字結構，把這個圖截去三個角點，這個角點可以視為△_１，發現它變成一個六角形而且中間還有一點，我們稱這個形數為中心六角形數，同樣地給一個定義中心六角形數G(1)。

　　那麼要如何在三角形數△_n中找到第二個中心六角形數G(2)呢？我們先排出G(2)，如圖中水藍色的點，其中紅色是中心點，在補上三個△₂個的三角形數，如圖中紫色的點，這時可以會看出這是三角形數△_７。

三角數數列就可以寫成△_１,△_２,△_３,△_４,△₅,△₆ ,△₇,……

　　　其中△_ｎ=1+2+3+4+….+n=n(n+1) /2

　　　那麼我們開始來把後一項減前一項，來看看它會長成什麼樣子？同樣地來做成一個新的數列，把他定義為P(n)=△n+1－△n

　　    舉個列來說，P(5) =△₆－△₅=6，從圖形上來看就是

　　畢氏和他的學生們正在玩石子，將石子排列成三角形、四角形...等凸多邊形，邊研究邊欣賞三角數、四角數、...等凸多邊形多角數，也們將數用小石子排列成各種形狀，例如10粒小石子可以排成三角形或矩形，10叫做三角形數或矩形數，因此，數都賦有形狀，從而有形數 (figurate numbers) 之稱。對畢氏學派而言，數與形是一家的：萬有都是整數，每個整數都有「形」。

　　「算」或「calculus」的古字，在西方相當於 Pebble，意指「弄石」；在東方是筭，意指「弄竹」，就是竹簽來進行計算的工具，被稱為「疇算」。對古人而言，算術就是擺弄小石子或竹簽以作計算的技術。因此，用小石子或竹簽來代表數是很自然的事。

　　　　　　　　　三角形數

　　教數學多年，常會遇到對數學感到恐懼的人們！

　　數學，它打著嚴謹的名號，形式化的定義及冗長的邏輯推導，取代對它的實質的了解。沒有實際觀察與實驗過程，只剩下符號及語言占據所有的討論，使得原本相當簡單的課題，常變成無意義的形式主義，對很多人而言，這不但枯燥乏味，更令許多人對數學望而遠之。

　　為了能夠解決這個問題，於是有了「數學玩玩」的討論課程，希望從由生活實踐中直觀的、經驗的、實驗的數學知識，整理與討論，開始發酵而產生質變──給經驗注入論證與證明，將經驗式的精煉成演繹式的數學。從實際的操作過程，慢慢地抽象化的理解，透過玩玩數學的過程來瞭解一些數學知識是如何被建構起來。

　　這適合小學高年以上及社會人士一起討論，也很適合親子共學。