吉祥農場

　　△_４被稱畢氏學派聖十字結構，把這個圖截去三個角點，這個角點可以視為△_１，發現它變成一個六角形而且中間還有一點，我們稱這個形數為中心六角形數，同樣地給一個定義中心六角形數G(1)。

　　那麼要如何在三角形數△_n中找到第二個中心六角形數G(2)呢？我們先排出G(2)，如圖中水藍色的點，其中紅色是中心點，在補上三個△₂個的三角形數，如圖中紫色的點，這時可以會看出這是三角形數△_７。

　　通過上面二個中心六角形數構造來看，可以猜測G(n)=△_３ｎ＋１－３△_ｎ

　　從數的觀點來查看：G(n) = 6(1+2+3+…+n)+1=3n(n+1)+1

　　　　　                    △_３ｎ＋１=(3n+1)(3n+2)/2

                 　　　　　   ３△_ｎ=3n(n+1)/2

　　　　　　                 △_３ｎ＋１－３△_ｎ=3n(n+1)+1

　　　　　　　　   左式＝右式，從數的觀點這個猜測應該是真的。

　　反過頭來看，如果說△_３ｎ＋１－３△_ｎ這會不會是G(n)呢？

　　從數的計算，當然是沒有問題，剛才已經算過，這個數會是一樣的，但如果形的觀點就不一定了！

　　先找一個△_７來看試看看，這次不是截去三個△_２的角，而是從中間挖出三個△_２，會發現這只是一個挖到只剩下中心點△_７。

　　也可以在下方內側挖出一個等腰梯形         ​​​​​​

　　也可以在下方外角挖掉一個等腰梯形，這時可以觀察出：這時候變成△_７－３△_２＝△_５＋□_２

接下來看△_１０的各種割法：

　在最後一種割法中，這時候變成△_１０－３△_３＝△_７＋□_３

　從△_７和△₁₀的最後一種割法中，是不是可以猜測出：

　　G(n)=△_３ｎ＋１－３△_ｎ＝△_２ｎ＋１＋□_ｎ呢？

問題與討論：

　　超人是有很趣的電影，在超人的胸前個有很像鑽石的五邊形，拿一個△_５來割，在上方割去△_１，在下方左右二個角割去△_２，看起來就像是那個超人鑽石五邊形，我們把這個形數的數列命名為超人鑽石五邊形S(n)，那麼你能找到這個超人的五邊形的一般式S(n)嗎？

　　歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱：guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號，數學玩玩收．答的好的朋友將致贈薄禮！

　　　文／施朝祥2018.12.4　于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場