柏拉圖為推動數學是感官物質世界跨向理念世界之路,因此他將數學置於崇高的地位,並強調其重要性,也在其著作中反覆強調數學具有培養思維的能力,增進才智的重要作用。他說:「學過幾何的人在學習其它學問時,要比未學過幾何的人快得多。」

  柏拉圖在四十歲時(約公元前387年),結束旅行返回雅典,並在雅典城外西北角創立了自己的學校—即著名的柏拉圖學院,據說在他的學園門口寫著『不懂幾何著,不得入內』的銘文。這所學院成為西方文明最早的有完整組織的高等學府之一,後世的高等學術機構也因此而得名,也是中世紀時在西方發展起來的大學的前身。學院存在了900多年,直到公元529年被查士丁尼大帝關閉為止。學院受到畢達哥拉斯的影響,課程設置類似於畢達哥拉斯學派的傳統課題,包括了算術、幾何學、天文學以及聲學。

  柏拉圖並不是數學家,但他相當熱衷數學,柏拉圖是用哲學家的眼睛在看數學,這對數學的進步很有意義。因為他認為數學對哲學非常重要,對於宇宙之探討也有很大的助益,他認為整個物質世界是依照數學規律來設計的,即“創造世界的偉大之神永遠按幾何規律來設計物質世界”只有通過數學才能領悟物質世界的實質,數學觀念正是哲學觀念的基礎,是認識理型世界的必備條件。

  在畢氏學派研究畢氏三元數的基礎上,柏拉圖又進一步地研究並提出一另套畢氏三元數的公式。

  在畢氏學派研究畢氏三元數的特徵是這些畢氏三元數有一特徵:斜邊與直角的其中一邊相差1,如果將k表為2m + 1,則上述的畢氏三元數也可以表為(2n + 1, 2n + 2n, 2n + 2n + 1) 。

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天文學家克卜勒說:「幾何學有兩個寶貝,一個是畢氏定理,另一個是黃金分割。前者如黃金,後者如珍珠。」畢氏定理是歐氏平面幾何學的核心結果,一切初等幾何學的計算永遠離不開它,以它為中心,可以將一大部分的數學連結起來。

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追溯歷史的發展,畢氏定理中的畢氏即指古希臘的畢達哥拉斯(Pythagoras,約西元前580-550年),他是公元前五六世紀時的古希臘數學家。相傳畢達哥拉斯發現這個定理後,宰了頭牛來慶祝,故「畢氏定理」又稱「百牛定理」。

畢氏定理又稱「商高定理」、「陳子定理」、「勾股定理」,有十分悠久的歷史,但且畢達哥拉斯並非歷史上最早發現定理者,幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究與發現。但以希臘著名數學家畢達哥拉斯和他們弟子們所組成的畢氏學派對除了證明這個定理,也證明了存在無限多組畢氏三元數,還找到畢氏三元數無限多組的公式,所以用畢氏定理來稱乎應是最合理的!

在畢氏定理中,如個三個數都是整數,這三個數被種為畢氏三元數:一般熟知的(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17)......等等,是否存在一個公式可以找出所有的畢氏三元數呢?

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十二月十一日 天氣晴偶有陰雨

  一直都想要釀酒,但是酒麴要怎麼弄到呢?大多數的人都會說去那一家商店買就有了!

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  作為農村要釀酒,酒麴卻要用買的,真是不合理,一點在地風味都沒有,而且生產流程不能自給自足,這不能算是真是的自己酒喝自己釀!

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  十三世紀的意大利數學家費波那契(Fibonacci)寫了一本書叫做《Liber abacci》。在書中提出了一個有趣的問題:假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子,其後每隔一個月又可以再生一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對剛生下來的一對小兔子,請問一年以後籠子裏應該有幾對兔子?

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(圖出自國語日報兒童報)

  讓我們慢慢地算一下。一月底,一對小兔子長成大兔子,二月底一對大兔子生了一對小兔子,三月底一對大兔子又生了一對小兔子,但是第二代的那對小兔子還沒成熟,還不能生小兔子,所以總共有三對。四月底,第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子,連同三月底所有的三對,現在一共有五對了。五月底,在三月底已經有的三對兔子各生一對小兔了,連同四月底所有的五對兔子,現在一共有八對了。

  依此類推,每個月底所有的兔子對數應該等於前一個月底所有的兔子對數(也就是原有的兔子對數)加上前兩個月底所有的兔子對數(這些兔子各生了一對小兔子)。所以每個月底的兔子對數應該是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…,每一項都是前兩項之和。現在假定十二代同堂,那麼一年後籠子裡應該有233對兔子了。

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十二月八日 天氣晴轉陰雨

  天氣還是轉涼了!

  傍晚時分,雞舍的雞此起彼落的叫著,雞群們正在搶一個睡覺的好位置。

  餵完雞後,開始燒材為晚上洗澡水作準備,在燒材的同時也煮一壼水泡茶來喝,配著水晶洛神蜜餞。

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  「給定一個長與寬都是正整數的長方形,起先用刀子割去最大可能的正方形;剩下部分再割去最大可能的正方形;……;如此進行下去,直到最後剩下的長方形是正方形就停止。最後的正方形的邊長是什麼呢?」

  答:長和寬的最大公因數。

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  如列圖就是一個□14╳10的長方形先割去□10、在割去2個□、最後剩下2個□。最後的正方形數□邊長2就是10和14的最大公因數。

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  自然萬物都是有曲線的,人類創造事物卻從四角形開始,四角形的書、四角形的門、四角形的畫面......而四角形數也是以原子論為觀點的畢氏學派的最基本形,三角形如果是底和高都是1那麼面積只有一半,這和原子論的觀點矛盾,以圖形來看,線如果存在最短單位長度,那麼面就存在最小單位面積就是長和寬都是單位長度,也就是一個單位面積,而這是從正方形開始,因此所有的數都是四角形數!

   四角形數正確來說是指矩形數才對,因為四角形還包括不規則四角形、梯形、箏形等狀況,而菱形和平行四邊形則是矩形的一種排列方式,也應視為矩形。矩形數可以分成二類,長和寬不一樣長度的長方形數和四邊長一樣的正方形數。為了方便我們把正方形數則寫成□:意思就是邊長為n的正方形數;而長和寬不一樣長度的長方形數寫成□n╳m,其中n指的是高,而m指的是底,所以□a╳b和□b╳a是不一樣的矩形數。

  例如:□2╳3,□3╳2

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  所有的數都是四角形數,但可以排成幾個四角形數呢?就不一定了!我們先從前面幾個來討論一下:

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  玉衡心裏想:一個三角形數△無法從圖形來分割成二個三角形數△,為了解決老師的問題,於是玉衡於是找了開陽、瑤光一起來討論。

  開陽想到了第三講中的三角形數底座數列P(n)=△n-△n-1,n為自然數。

  P(n):1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,...

  開陽把三角形數底座數列P(n)又同為三角形數△的劃出來。

  瑤光突然說:「對!對!對!就是這樣。」

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  那天畢氏學派的學生把,一個正三角形數割出一個最大正方形數後,他想看看會發生什麼好玩的事?

  有些人不習慣正三角形的排列方式,其實只要1+2+3+….的本質不變,那麼也可以排成直角三角形的方式來研究。以△為例作下圖:

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  把一個三角形數△n割出一塊最大的正方形,要如何割,那麼會面臨二種△n的形式:n為奇數和偶數二種情況,先取三角形數△、三角形數△來看現在如何?

 三角形數△取到最大的正方形數是□而剩下二個三角形數△,由前第三講時可知正方形數是□是由三角形數△和三角形數△組成。

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十二月四日 天氣晴

  近中午時刻茂盛大哥來到農場,一個在樸門認識的農民,雖然他的田在附近卻是第一次來,還帶來了拌手禮,剛採下的毛豆──黑豆夾。

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  經歷過許多生命的難關,目前茂盛完全吃素,而且只吃自己生產的食物,因為外面的食物,很令人不放心!

  我和茂盛互相交流後,原本令我很頭痛的竹子,茂盛大哥剛好有需要,而茂盛大哥的田缺水,剛好我家可以就近提供,我們就這麼互通有無。下周有東海大學的學生要來參與農事,茂盛大哥也覺得很好,提供了不少可以一起參與活動的意見。

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  被稱畢氏學派聖十字結構,把這個圖截去三個角點,這個角點可以視為△,發現它變成一個六角形而且中間還有一點,我們稱這個形數為中心六角形數,同樣地給一個定義中心六角形數G(1)

 

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  那麼要如何在三角形數△n中找到第二個中心六角形數G(2)呢?我們先排出G(2),如圖中水藍色的點,其中紅色是中心點,在補上三個△2個的三角形數,如圖中紫色的點,這時可以會看出這是三角形數△

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三角數數列就可以寫成△,,,,5,6 ,7,……

   其中△=1+2+3+4+….+n=n(n+1) /2

   那麼我們開始來把後一項減前一項,來看看它會長成什麼樣子?同樣地來做成一個新的數列,把他定義為P(n)=△n+1-△n

      舉個列來說,P(5) =6-△5=6,從圖形上來看就是

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  畢氏和他的學生們正在玩石子,將石子排列成三角形、四角形...等凸多邊形,邊研究邊欣賞三角數、四角數、...等凸多邊形多角數,也們將數用小石子排列成各種形狀,例如10粒小石子可以排成三角形或矩形,10叫做三角形數或矩形數,因此,數都賦有形狀,從而有形數 (figurate numbers) 之稱。對畢氏學派而言,數與形是一家的:萬有都是整數,每個整數都有「形」。

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  「算」或「calculus」的古字,在西方相當於 Pebble,意指「弄石」;在東方是筭,意指「弄竹」,就是竹簽來進行計算的工具,被稱為「疇算」。對古人而言,算術就是擺弄小石子或竹簽以作計算的技術。因此,用小石子或竹簽來代表數是很自然的事。

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         三角形數

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  教數學多年,常會遇到對數學感到恐懼的人們!

  數學,它打著嚴謹的名號,形式化的定義及冗長的邏輯推導,取代對它的實質的了解。沒有實際觀察與實驗過程,只剩下符號及語言占據所有的討論,使得原本相當簡單的課題,常變成無意義的形式主義,對很多人而言,這不但枯燥乏味,更令許多人對數學望而遠之。

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  為了能夠解決這個問題,於是有了「數學玩玩」的討論課程,希望從由生活實踐中直觀的、經驗的、實驗的數學知識,整理與討論,開始發酵而產生質變──給經驗注入論證與證明,將經驗式的精煉成演繹式的數學。從實際的操作過程,慢慢地抽象化的理解,透過玩玩數學的過程來瞭解一些數學知識是如何被建構起來。

  這適合小學高年以上及社會人士一起討論,也很適合親子共學。

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  台灣俗話說:「敢的人挾去配!」意謂著法治精神的喪失,當法律成為空洞的條文,無法達成法律社會公平、正義之目的,任由強者巧取豪奪,反而讓守法的人無法得到應有的保障,政府失去人民的信賴。

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  目前雲林候選人違規旗幟逾到處都是,明顯違反公職人員選舉罷免法第五十二條的規定,如此違法的清況發生,卻沒有任何改善的狀況,法律的尊嚴和權威完全被踐踏,政府統治的碁石受到破壞,政府威信受到挑戰,統治著竟然無感!

  這之罪魁禍首可說是主管機關的中央選舉委員會,中央選舉委員會無所作為,等於變相地包庇違法著;而帶頭違法的雲林縣長李進勇更是自己定的法規,自己帶頭違法、玩法弄權,身為法律人,卻是不折不扣的威尼斯商人。

  我們是民主義法治國家,法律的尊嚴和權威不容踐踏,然而這次選舉李進勇、張麗善身為縣長候選人競然如踐踏法律尊嚴,當選後人民如何相信他們會依法行政呢?無異是法治國之耻!

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