那天畢氏學派的學生把,一個正三角形數割出一個最大正方形數後,他想看看會發生什麼好玩的事?
有些人不習慣正三角形的排列方式,其實只要1+2+3+….的本質不變,那麼也可以排成直角三角形的方式來研究。以△5為例作下圖:
把一個三角形數△n割出一塊最大的正方形,要如何割,那麼會面臨二種△n的形式:n為奇數和偶數二種情況,先取三角形數△8、三角形數△9來看現在如何?
三角形數△8取到最大的正方形數是□4而剩下二個三角形數△4,由前第三講時可知正方形數是□4是由三角形數△3和三角形數△4組成。
寫成數學式子△8=□4+2△4=△3+3△4
三角形數△9取到最大的正方形數是□5而剩下二個三角形數△4,由前第三講時可知正方形數是□5是由三角形數△5和三角形數△4組成。
寫成數學式子△9=□5+2△4=△5+3△4
從以上例子,在擴充觀察後,寫成一般式:
△2K =□k +2△k=△k+1+3△k
△2K+1=□k+1+2△k=△k+1+3△k
看到這個發現,這學生很高興的跑去向老師報告他的研究果:
老師,我發現任何一個大於三的三角形數△n都可以分割成四個三角形數△其中有三個一樣大,還有一個不是大一階,就是小一階。
並把他的過程操作一次給老師看。
老師看完過之後說:你的研究很好!很值得鼓勵。
老師進一步地問他:那你可以找到一個三角形數△是由二個三角形數△所組成的嗎?
學生很高興地回答:好!
但心裏在想:一個三角形數△無法從圖形來分割成二個三角形數△,那麼這必需要借用算數的工具了?
問題與討論:
問題一:有人說△m+n=△m +△n +□m×n,那你能用△7=△3+△4+□3╳4用來說明這個式子嗎?
問題二:有人說n > m 則△m +△n =△n-m+□m×(n+1),那你能用n=7,m=3來說明△7+△3=△4+□3╳8來說明嗎?
問題三:有人說任何三角形數△乘以8再加1是一個平方數□,那你能在下圖中劃成八個一樣大的三角形數△並留下一點嗎?
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文/施朝祥2018.12.5 于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場
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