吉祥農場

　　前面提過畢達哥拉斯學派認為宇宙是由整數所構成，當一個數不是整數時，他們用比例的概念來解釋這個狀況，同時認為如果一個數不是整數，那就會是一個整數的比例。畢達哥拉斯主張構成線段的點是有大小的，假設一個具備大小的點長度為d，d是一個大於0的數，所以任何兩條線段a,b的長度就可以寫成：

　　a=md　,　b=nd　

於是：a:b=md:nd=m:n。

　　這也就是說，宇宙間的萬物都可以由兩個大於0的整數比值構成，是可共度的(commensurable) ，意思是說可以找到共同的最小單位，也可以說是原子論的觀點。

　　那麼√2=1.41421356……它如果一直算下去可以找到最後一位的小數嗎？它會是一個整數的比例嗎？

　　畢達哥拉斯最愛的活動就是在地上排列小卵石嗎？最後√2就可以想成有一個小卵石排成的平方數層數為m，可以分解排列為另外兩個層數都為n的平方數排列。寫成數學式就是：

　　√2=m:n　→　2ｎ^２＝ｍ^２

　　我們先假設存在最小的一組的正方形數□_ｍ＝２□_ｎ。

　　　令a=m-n,b=2n-m，這時會發現還有一組更小的正方形數□_ａ＝２□_ｂ

這和原本的假設正方形數□_ｍ＝２□_ｎ是最小的一組矛盾。

　　也就是說，√2 =1.41421356……不是一個可以化成分數的數。

　　結論就是2的平方根不可能是一個完美的整數比值，在數學上被稱為不可共度的 (incommensurable)。

　　畢達哥拉斯的學生希帕索斯（Hippasus）就推導出了這個結論：在宇宙中有些數是整數，有些數是整數的比值，但有些數既不是整數，也不是整數的比值，是不可共度的。

　　這是一個動搖國本的結論。

　　希帕索斯， 西元前六世紀的古希臘數學家，畢達哥拉斯的學生，發現了無理數。現在希帕索斯說，有一種數不可能是整數的比值。畢達哥拉斯畢生鑽研的宇宙觀瞬間崩解，不復存在。畢達哥拉斯學派崇拜以數為主體的思想，混合了神祕的敬神和禁忌儀式。希帕索斯身為畢達哥拉斯學派的一員，發過誓遵守導師的教誨。他的發現得罪了神祇，神諭將希帕索斯淹沒水中。

　　希帕索斯的發現並沒有就此被淹沒，日後歐幾里得到亞里斯多德，都接納了他的發現，也就是推翻了點是有大小的觀點，替之以點是不具大小的概念。

　　在日後發展的數字系統裡，一個可以表示成整數比的數，被稱為有理數（rational number），例如：0.5、0.89

　　反之一個數如果無法表示成整數比，這個數就被稱之為無理數（irrational number），例如：√2、√3

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問題與討論：

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問題二：你覺得先知一定會孤單嗎？

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文／施朝祥2019.1.28于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場