你還看過像三角粽子那樣的風箏嗎?而且是好多好多個三角粽疊在一起形成的大粽子風箏。這款風箏的發明人大有來頭,乃是現代通信之父貝爾所發明的。貝爾的靈感不是來自於粽子,他是從數學角度思考,採納了「正四面體」這個架構,由6根牙籤和4顆軟糖做出來的正四面體最為穩固。

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  四面體是由四個等邊三角形組成的正多面體,是一種錐體,有4個頂點、6條邊和4個正三角形面。正四面體也是柏拉圖立體中唯一一個所有頂點之間的距離都相等的,同時正四面體也是三維空間中使4個頂點每兩個頂點間距離相等的唯一方式。

  四面體數也被稱為三角錐體數,四面體數是可以排成底為三角形的錐體(即四面體)的數。四面體數每層為三角形數,那麼四面體數是多少呢?

  我們可以先把

   四面體數=1+(1+2) +(1+2+3) +(1+2+3+4)+……+(1+2+3+…+n)

                 =△+△+△+△+……+△

     之前我們討論過,□=△n-1+△,利用這個特性,我們拿出一個金字塔數來討論:

   金字塔數=□+□+□+□+……+□

        =△+(△+△) +(△+△) +(△+△)+……+(△n-1+△)

       =2(△+△+△+△+……+△n-1+△) -△

       =2(四面體數)-△

   就可以推出

   四面體數=(金字塔數+△)/2

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   若從

    金字塔數=□+□+□+□+……+□

           =△+(△+△) +(△+△) +(△+△)+……+(△n-1+△)

       =(△+△+△+△+…+△n-1)+(△+△+△+…+△)

                        =四面體數n-1+四面體數

   可以知道,一個金字塔數,可以拆成二個差一階的四面體數。

 

 

問題與討論:

  問題一:有沒有一個四面體數可以拆成二個四面體數相加呢?

 

  問題二:正四面體風箏的另一個好處是:可以用很多小正四面體風箏,組合成一個大型的正四面體風箏。當你有4個小正四面體風箏時,你可以把3個排在一個平面上,再把第四個疊在他們上面。剛好,底下3個正四面體的頂點,會跟疊在上方的第四個正四面體的三個頂點重合。換句話說,你不僅可以疊起來,還可以拿掉3顆糖果,省下三個節點的重量!數學家分析發現,當越多小的正四面體風箏組合起來時,可以省下越多節點重量。那麼本文的圖是幾個小正四面體組合起來的呢?

 

   歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱:guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號,數學玩玩收.答的好的朋友將致贈薄禮!

 

文/施朝祥2019.1.9于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場

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