吉祥農場

　　丟番圖是約公元246-300年古希臘亞歷山大後期的重要學者和數學家，被譽為代數學的鼻祖，希臘數學自畢達哥拉斯學派後，數學重心就在幾何，只有經過幾何論證的命題才是可靠的，為了邏輯的嚴密性，代數也披上了幾何的外衣。直到丟番圖，才把代數解放出來，擺脫了幾何的羈絆，丟番圖認為用代數方法比幾何的演繹陳述更適合於解決問題，而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨創性，在希臘數學中獨樹一幟，被後人稱為『代數學之父』。

（圖選自網路）

　　繼畢達哥拉斯學派和伯拉圖的基礎上，丟番圖更進一步地研究畢氏三元數：

先從前一講所說的和平方與差平方二個公式觀察起：

 　　　　和平方：(a+b)^２=a^２+2ab+b^２

  　　　 差平方：(a-b)^２=a^２-2ab+b^２

　　和平方是一個正方形數□_ａ＋ｂ，差平方也是一個正方形數□_ａ－ｂ，和平方減去差平方為4ab，若是4ab剛好是一個正方形數□_２ｋ 那麼就剛好又是一組畢氏三元數，如果寫成數學式：

　　(a+b)^２-(a-b)^２=(2k)^２

　　可以推導出：(2k)^２+(a-b)^２=(a+b)^２

　　所以(2k, a-b, a+b)是一組畢氏三元數。

　　　若此ab=k^２來看，我們可以令a=m^２,b =n^２,對於所有的m>n的自然數

　　　整個式子就會變成(2mn,m^２-n^２,m^２+n^２) 是一組畢氏三元數，於是丟番圖給出了畢氏三元數一般解的公式：

　　　　a= 2mn,  b=m^２-n^２, c=m^２+n^２

例如：m=5,n=3

　　　a=30,b=16,c=34

     則30^２+16^２=34^２

丟番圖畢氏三元數公式和達哥拉斯學派公式解的關係：

從丟番圖給出了畢氏三元數一般解的公式，我們回去檢查達哥拉斯學派給的解(2n+1, 2n^２+2n, 2n^２+2n+1)，因為第一個數一定是偶數，所以我們把前面二個數對調(2n^２+2n,2n+1, 2n^２+2n+1)= (2(n+1)n, (n+1)^２-n^２, (n+1) ^２+n^２)，剛好是丟番圖公式當m,n差1時的特例。

我們研究其中的三組：

　　(5,12,13)=(12,5,13)= (2╳2╳3,3^２-2^２,3^２+2^２),

　　(7,24,25)=(24,7,25)= (2╳3╳4,4^２-3^２,4^２+3^２),

　　(9,40,41)=(40,9,41)= (2╳5╳4,5^２-4^２,5^２+4^２)

　　丟番圖畢氏三元數公式和柏拉圖公式解的關係：

　　在從丟番圖給出了畢氏三元數一般解的公式，我們回去檢查柏拉圖給的解(2n, n^２-1, n^２+1)，發現柏拉圖給的公式解剛好是丟番圖公式當m=1時的特例。

　　有了丟番圖的畢氏三元數公式後，我們可以說，給定任何一個大於１的自然數，都可以找到畢氏三元數，而且不一定只有一組。

　　例如給一個自然數6=6╳1=3╳2

　　則可以找到m=6,n=1→a=12, b=35, c=37

　　也可以找到m=3,n=2→a=12, b=5, c=13

問題與討論：

　　問題一：丟番圖的畢氏三元數公式，給定任何一個大於１的自然數，都可以找到畢氏三元數，而且不一定只有一組，那麼你可以試看看可以找出幾個自然數試看看可以找到幾組解嗎？他們有什麼規律嗎？

　　問題二：丟番圖的畢氏三元數公式，被認為是畢氏三元數的一般解，但實際上這個公式並無法解出所有的解，你能找看看有那些畢氏三元數是這個公式無法解的嗎？

　　問題三：丟番圖提出了：將兩平方數之和寫成另兩平方數之和。你能利用丟番圖的畢氏三元數公式，找到三組解嗎？

　　問題四：丟番圖的墓誌銘中有一道題目，你能解看看他活了幾歲嗎？

　　童年佔了他人生的六分之一；過了十二分之一的人生後，他的面頰上長了鬍子；又過完七分之一的人生後，他娶進嬌妻；婚後第五年，喜獲麟兒。可悲的是，這個可愛的孩子只活了父親壽命的一半，即過世；而他則在生命中最後的四年，為此哀傷而死。

　　　歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱：guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號，數學玩玩收．答的好的朋友將致贈薄禮！

文／施朝祥2018.12.18于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場