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天文學家克卜勒說：「幾何學有兩個寶貝，一個是畢氏定理，另一個是黃金分割。前者如黃金，後者如珍珠。」畢氏定理是歐氏平面幾何學的核心結果，一切初等幾何學的計算永遠離不開它，以它為中心，可以將一大部分的數學連結起來。

追溯歷史的發展，畢氏定理中的畢氏即指古希臘的畢達哥拉斯（Pythagoras，約西元前580-550年），他是公元前五六世紀時的古希臘數學家。相傳畢達哥拉斯發現這個定理後，宰了頭牛來慶祝，故「畢氏定理」又稱「百牛定理」。

畢氏定理又稱「商高定理」、「陳子定理」、「勾股定理」，有十分悠久的歷史，但且畢達哥拉斯並非歷史上最早發現定理者，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究與發現。但以希臘著名數學家畢達哥拉斯和他們弟子們所組成的畢氏學派對除了證明這個定理，也證明了存在無限多組畢氏三元數，還找到畢氏三元數無限多組的公式，所以用畢氏定理來稱乎應是最合理的！

在畢氏定理中，如個三個數都是整數，這三個數被種為畢氏三元數：一般熟知的(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17)......等等，是否存在一個公式可以找出所有的畢氏三元數呢？

先從正方形數□數列來觀察：

從這個過程中，可以發現正方形數□_ｎ數列的規律：

　　正方形數□_ｎ＝1+3+5+……+(2n+1)

從圖形來觀察，你會發現就是一個比較小的正方形數□，加上一層奇數的外膜，而形成一個比較大的正方形數□；用數學表示：n^２個小石子組成的正方形再加上2n + 1個小石子就會構成一個更大的正方形—— (n + 1)^２個小石子所組成的正方形。那麼當這個外膜是一個正方形數□時，那畢氏三元數就會出現了！

我們以正方形數□_５來作例子：正方形數□_ｎ　　剛好正方形數□_ｎ

(3, 4, 5)這組元數就找到了！

又如：

1 + 3 + 5 + 7 + … + 23 = 12^２

1 + 3 + 5 + 7 + … + 23 + 25 = 13^２

於是有

   12^２ + 25 = 13^２,

即 12^２ + 5^２ = 13^２

故(5, 12, 13)也是一組畢氏三元數。

也就是說

如果外膜(2n + 1)也是一個正方形數，即存在正整數k使得2n + 1= k^２，則(k, n, n+1)便構成了一組畢氏三元數。令k = 3, 5, 7, 9…，我們就可以依次得到3, 4, 5；5, 12, 13；7, 24, 25；9, 40, 41；…等無限多組畢氏三元數。這些畢氏三元數有一特徵：斜邊與直角的其中一邊相差1，如果將k表為2m + 1，則上述的畢氏三元數也可以表為(2n + 1, 2n^２ + 2n, 2n^２ + 2n + 1)。

從這個觀察，畢氏學派提出畢氏三元數的一組公式：

　　a = 2n + 1，b = 2n^２ + 2n，c = 2n^２ + 2n + 1

問題與討論：

　　問題一：畢氏學派找到了一組畢氏三元數的公式，但這不是所有解，那麼你能在找看看嗎？

　　　歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱：guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號，數學玩玩收．答的好的朋友將致贈薄禮！

文／施朝祥2018.12.12　于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場