自然萬物都是有曲線的,人類創造事物卻從四角形開始,四角形的書、四角形的門、四角形的畫面......而四角形數也是以原子論為觀點的畢氏學派的最基本形,三角形如果是底和高都是1那麼面積只有一半,這和原子論的觀點矛盾,以圖形來看,線如果存在最短單位長度,那麼面就存在最小單位面積就是長和寬都是單位長度,也就是一個單位面積,而這是從正方形開始,因此所有的數都是四角形數!

   四角形數正確來說是指矩形數才對,因為四角形還包括不規則四角形、梯形、箏形等狀況,而菱形和平行四邊形則是矩形的一種排列方式,也應視為矩形。矩形數可以分成二類,長和寬不一樣長度的長方形數和四邊長一樣的正方形數。為了方便我們把正方形數則寫成□:意思就是邊長為n的正方形數;而長和寬不一樣長度的長方形數寫成□n╳m,其中n指的是高,而m指的是底,所以□a╳b和□b╳a是不一樣的矩形數。

  例如:□2╳3,□3╳2

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  所有的數都是四角形數,但可以排成幾個四角形數呢?就不一定了!我們先從前面幾個來討論一下:

  1只有一種□

  2、3、5和7都有二種□1╳2、□2╳1;□1╳3、□3╳1

              □1╳5、□5╳1;□1╳7、□7╳1

  4、9都有三種□1╳4、□、□4╳1;□1╳9、□、□9╳1

  6、8都有四種□1╳6、□2╳3、□3╳2、□6╳1

         □1╳8、□2╳4、□4╳2、□1╳8

  從這邊可以觀察出來,有幾個因數就可以排出幾個四邊形數。

  其中1只有一種,畢達哥拉斯派的宇宙起源論的主要成分是數,畢氏學派可以說是名符其實的「拜數字教」,他們認為每個自然數都有其不凡的意義:數字1是所有自然法則的根源,1是數之始,其餘的數都是1的集合,宇宙的產生是從1,於是萬物遂從而形成,1是萬物之母不能算是數。

  2、3、5和7都有二種,這種只能排成二種矩形數的就是質數,質數定義:大於1的自然數中,除了1和該數自身外,無法被其他自然數整除的數;或是只有1與該數本身兩個正因數的數。

  4、6、8和9中都有二個以上的四邊形數,這些數被稱為合數,也稱為合成數,合數定義為:是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數。任一個大於1的整數若不是質數,就會是合數。

  1、4和9都有奇數個四邊形數,它們都有一個正方形數,被稱為平方數,或稱為完全平方數,平方數定義為:可以寫成某個整數的平方的數,即其平方根為整數的數。如果我們在找幾個完全平方數來研究,就會發現質數的完全平方數只能組三個四邊形數,而合數的完全平方數就會超過三個四邊形數,如16就有□1╳16、□2╳8、□4╳4、□8╳2、□16╳1

  6有是一種特殊的自然數,被稱為完美數,又稱完美數或完備數,完美數定義為:它所有的真因子(即除了自身以外的因數)的和,恰好等於它本身。

  也就是說6的把除了最高的那個四邊形數□1╳6、□2╳3、□3╳2身疊起來會和最高的那個四邊形數□6╳1一樣高。

40002.png

  這是不是很神奇呢?那不夠高的呢稱為虧數,而超過高的就稱為豐數。

 

問題與討論:

問題一:把三十以下的自然數做一個四邊形數記錄表嗎? 如下圖。

40003.png

問題二:完全數如何求出?是否有無限多個?這兩個問題是數學家們在幾千年前就提出來了!

    我們只能說明那一種偶數是完美數,至於這種偶數是否有無限多個,及有無奇完美數的存在,這就有待後世的努力!你可以試看看嗎?

 

 

   歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱:guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號,數學玩玩收.答的好的朋友將致贈薄禮!

 

文/施朝祥2018.12.7 于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場

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