玉衡心裏想:一個三角形數△無法從圖形來分割成二個三角形數△,為了解決老師的問題,於是玉衡於是找了開陽、瑤光一起來討論。

  開陽想到了第三講中的三角形數底座數列P(n)=△n-△n-1,n為自然數。

  P(n):1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,...

  開陽把三角形數底座數列P(n)又同為三角形數△的劃出來。

  瑤光突然說:「對!對!對!就是這樣。」

  之後瑤光很快地就拿出石子來擺出三角形數△。

  瑤光突然說:「你看!如果三角形數底座數列P(n)剛好是一個三角形數△,那麼把底座和上面三角形數△,那不就是二個三角形數△組合成一個更大的三角形數△。以三角形數底座數列P(n)=6為例子來看。」

501.png

 寫成數學式子△=△+△

  經過歸納後,大家得到了一個結論:當△的n是一個大於3的三角形數△時,一定可以得到△=△n-1+△,也就是當n為大於3的三角形數△時,△

可以寫成二個三角形數△的和

  玉衡想看到了一個奇怪的數,三角形數△等於二個一樣大的三角形數△的和△=2△,於是就提出還有沒有另外的三角形數△等於二個一樣大的三角形數△的和呢?

 

  開陽又提出了另一個方法,可以找到二個小三角形數△組合成一個大三角形數△的方式。

  三角形數數列△n=1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,……

  如果三角形數△n=m是大於1的奇數時,令m=2k+1=k+(k+1),這時就可以找到三角形數數列△K+1=△+△n,也是一種二個小三角形數△組合成一個大三角形數△。

  舉個例子來說:

  =15 ,15=7+8 → △=△+△

502.png

  三人很高與的去找老師,並報告研究成果。

  老師又進一步問:還可以進一步研究,看能不能找到更普遍的形式。

 

 

問題與討論:

問題一:三角形數△等於二個一樣大的三角形數△的和△=2△,於是就提出還有沒有另外的三角形數△等於二個一樣大的三角形數△的和呢?

問題二:還有其它找到個二個三角形數△組合成一個大三角形數△的方式嗎?

問題三:高斯在1796年7月10日在日記中寫道:何自然數是最多三個三角形數的和。你可以舉例說明一下嗎?

 

 

   歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱:guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號,數學玩玩收.答的好的朋友將致贈薄禮!

 

文/施朝祥2018.12.6 于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場

 

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