吉祥農場

　　那天畢氏學派的學生把，一個正三角形數割出一個最大正方形數後，他想看看會發生什麼好玩的事？

　　有些人不習慣正三角形的排列方式，其實只要1+2+3+….的本質不變，那麼也可以排成直角三角形的方式來研究。以△_５為例作下圖：

　　把一個三角形數△_n割出一塊最大的正方形，要如何割，那麼會面臨二種△_n的形式：n為奇數和偶數二種情況，先取三角形數△_８、三角形數△_９來看現在如何？

　三角形數△_８取到最大的正方形數是□_４而剩下二個三角形數△_４，由前第三講時可知正方形數是□_４是由三角形數△_３和三角形數△_４組成。

　寫成數學式子△_８＝□_４＋2△_４＝△_３＋3△_４

　三角形數△_９取到最大的正方形數是□_５而剩下二個三角形數△_４，由前第三講時可知正方形數是□_５是由三角形數△_５和三角形數△_４組成。

　寫成數學式子△_９＝□_５＋2△_４＝△_５＋3△_４

　從以上例子，在擴充觀察後，寫成一般式：

　　　△_2K  ＝□_ｋ＋2△_ｋ＝△_ｋ＋１＋3△_ｋ

　　　△_2K+1＝□_ｋ＋１＋2△_ｋ＝△_ｋ＋１＋3△_ｋ

　看到這個發現，這學生很高興的跑去向老師報告他的研究果：

　老師，我發現任何一個大於三的三角形數△_ｎ都可以分割成四個三角形數△其中有三個一樣大，還有一個不是大一階，就是小一階。

　　並把他的過程操作一次給老師看。

　　老師看完過之後說：你的研究很好！很值得鼓勵。

　　老師進一步地問他：那你可以找到一個三角形數△是由二個三角形數△所組成的嗎？

　　學生很高興地回答：好！

　　但心裏在想：一個三角形數△無法從圖形來分割成二個三角形數△，那麼這必需要借用算數的工具了？

問題與討論：

問題一：有人說△m+n=△m +△n +□m×n，那你能用△_７=△_３+△_４+□_３╳４用來說明這個式子嗎？

問題二：有人說n > m 則△m +△n =△n-m+□m×(n+1)，那你能用n=7,m=3來說明△_７+△_３＝△_４+□_３╳８來說明嗎？

問題三：有人說任何三角形數△乘以8再加1是一個平方數□，那你能在下圖中劃成八個一樣大的三角形數△並留下一點嗎？

　　　歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱：guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號，數學玩玩收．答的好的朋友將致贈薄禮！

文／施朝祥2018.12.5　于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場