吉祥農場

三角數數列就可以寫成△_１,△_２,△_３,△_４,△₅,△₆ ,△₇,……

　　　其中△_ｎ=1+2+3+4+….+n=n(n+1) /2

　　　那麼我們開始來把後一項減前一項，來看看它會長成什麼樣子？同樣地來做成一個新的數列，把他定義為P(n)=△n+1－△n

　　    舉個列來說，P(5) =△₆－△₅=6，從圖形上來看就是

　可以說是△₆可那個三角形去掉上面的三角形，剩下底座，那我們可以把P(n)稱為三角形數底座數列。

　　我們列出三角形數底座數列P(n)：2,3,4,5,…….

　　剛好是一個等差數列，這種要進行二次後項減前項才會得到公差的數列，被稱為二階等差數列，所以三角數數列△_１,△_２,△_３,……是一種二階等差數列。

　　在看一次三角形數底座數列P(n)：2,3,4,5,…….，發現它不是從1開始，這好似有些不完美。我們可以利用擴展的功能，將三角數數列補上△_０=0，

　　三角數數列變成△₀,△_１,△_２,△_３,……

　　三角形數底座數列P(n)=△n－△n-1，其中n為自然數

　　三角形數底座數列P(n)：1,2,3,4,5,…….

　　看起來是不是完美多了！

　　擴展讓數學的內容越富豐，但在使用上要小心，必需要前後能夠連貫，不可以天外飛來一筆，而且在擴展的過程，數學家常會分成接受與不接受二派，而且吵的不可分交，但也在這過程中讓人們對數學的內容有更深刻的理解。令△_０=0的擴展是畢氏學派不能接受的事，在他們沒有0的概念，當然也沒有0這個符號，而1就像是萬有的種子，1它是一切的根本，就像1是三角形數、四角形數、五角形數……。

　　接下來我們開始來把前一項加後一項，來看看它會長成什麼樣子？同樣地來做成一個新的數列，把他定義為N(n)=△n+△n-1

　    舉個列來說，N(5) =△₅＋△₄，從圖形上來看就是

  哇！它竟然是一個正方形吔！

　　從圖形來看，我們可以說這是N(n)是一個正方形數列：1,4,9,16,……

當然有些人喜歡他把稱為完全平方數數列！

　　那個從N(5)=△₅＋△₄=25=5²來看

　可以發現到一個新的公式：

　　N(n)=1+2+3+…+n+…+3+2+1=n²

　　是不是很有趣呢呢？

文／施朝祥2018.12.3　于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場