吉祥農場

　　畢氏和他的學生們正在玩石子，將石子排列成三角形、四角形...等凸多邊形，邊研究邊欣賞三角數、四角數、...等凸多邊形多角數，也們將數用小石子排列成各種形狀，例如10粒小石子可以排成三角形或矩形，10叫做三角形數或矩形數，因此，數都賦有形狀，從而有形數 (figurate numbers) 之稱。對畢氏學派而言，數與形是一家的：萬有都是整數，每個整數都有「形」。

　　「算」或「calculus」的古字，在西方相當於 Pebble，意指「弄石」；在東方是筭，意指「弄竹」，就是竹簽來進行計算的工具，被稱為「疇算」。對古人而言，算術就是擺弄小石子或竹簽以作計算的技術。因此，用小石子或竹簽來代表數是很自然的事。

　　　　　　　　　三角形數

　　　　　　　　　四角形數

　　　　　　　　五角形數

　　那我們就從三角形數開始研究起吧！

　　在研究三角形數前，我們先將三角形數依邊長度進行整隊，排成一列，邊長一的就是1=1,1+2=3, 1+2+3=6,1+2+3+4=10,……或是省去計算而成1,3,6,10,15,21,........，給個專有名詞就是三角數數列，數列的意思就是將數排成一列，可是這要分辨第幾個數就很困難，從觀察可以知三角數就是自然數的連加，因此我們下一個定義：△_ｎ=1+2+3+4+…+n

如

　　三角數數列就可以寫成△_１,△_２,△_３,△_４,△₅,△₆ ,△₇,……

　　那麼第n幾個三角數是多少呢？△_ｎ=?

　　先以二個△₆來作實驗，把二個以△▽的排列，發現新的圖形成為一個矩形６╳７＝４２，因為是二個△₆圖形，所以還要在除以２，得到答案２１。

　　所以當是△_ｎ時可以知道，可以成為邊長為n和n+1的矩形，那麼這時就得到公式

問題與討論：

　　問題一：在中國宋朝數學家楊輝，他在工地上堆積了許多圓草束，從側面看去它們堆積成一個三角形的樣子。最頂層只有一根，第二層只有二根， 第三層只有三根。在計算由草束堆成尖垛時候，想到頂層是一束，從上到下逐層增加一束，如果知道底層的束數，就可以算出全部草束的總數。他提出的一個問題是：「今有圭垛草一堆，頂上一束，底闊八束。問共幾束？」請問這是那個三角形數呢？

　　問題二：？就奇數和偶數的狀況來觀察三角形數，那麼它會是有規律的出現嗎？如果有規律那麼是怎麼樣的規律呢？

　　問題三：高斯年幼時已表現出超卓的數學才華，當他還在唸小學時，某天老師要求學生們計算以下的算式：1 + 2 + 3 + … + 100=？高斯卻能輕易地把正確答案，你能計算出來是多少嗎？

 　　問題四：波蘭中學數學比賽出過的一個問題：證明三角數1+2+…+n的最後一位數不可能出現2，4，7，9。例如S1=1，S2=3，S3= 6，S4=10，S5= 15，S6=21，S7=28。

　　問題五：高斯在1796年7月10日在日記中寫道： 何自然數是最多三個三角形數的和。這會是真的嗎？

　　　歡迎把問題與討論的答案寄到電子信箱：guevara4900@gmail.com或是寫信到:雲林縣斗六巿江厝里部子23號，數學玩玩收．答的好的朋友將致贈薄禮！