教數學多年,常會遇到對數學感到恐懼的人們!

  數學,它打著嚴謹的名號,形式化的定義及冗長的邏輯推導,取代對它的實質的了解。沒有實際觀察與實驗過程,只剩下符號及語言占據所有的討論,使得原本相當簡單的課題,常變成無意義的形式主義,對很多人而言,這不但枯燥乏味,更令許多人對數學望而遠之。

         123.png

  為了能夠解決這個問題,於是有了「數學玩玩」的討論課程,希望從由生活實踐中直觀的、經驗的、實驗的數學知識,整理與討論,開始發酵而產生質變──給經驗注入論證與證明,將經驗式的精煉成演繹式的數學。從實際的操作過程,慢慢地抽象化的理解,透過玩玩數學的過程來瞭解一些數學知識是如何被建構起來。

  這適合小學高年以上及社會人士一起討論,也很適合親子共學。

  在第一階段的課程,我們將介紹玩石子的畢達歌拉斯學派,也一起來玩石子發現數學定理。

 

序曲:為什麼要玩石子?

 

  歐氏幾何的創立,是數學史也是人類文明史上破天荒的大事。在數學史上,歐氏幾何是第一個公理化的知識系統,由定義與公理出發,推導出一系列的定理。然而,公理是怎麼得來的呢?為什麼要選取這樣的公理?公理並不是天經地義的,它們都是經過長期的試誤 (trial and error) 才演化出來的。公理有如憲法,都是人們制訂出來的,可以挑戰,更可以修訂或重訂。

 

  古埃及與巴比倫人約三千年的生活實踐,累積了大量直觀的、經驗的、實驗的幾何知識──可能對也可能錯。然後傳到了古希臘,古希臘的先哲如ThalesPythagorasDemocritus……們都曾到過埃及與巴比倫旅行、遊學,帶回了許多幾何知識,加上希臘人自己所創造的幾何遺產,經過一群愛智、求完美、講究論證、追根究柢、為真理奮鬥的哲學家們之增益與整理,開始發酵而產生質變。

  首先由泰利斯(Thales, 西元前約625546年,被尊稱為演繹式幾何之父)發端,首先嘗試用「邏輯」加以組織。泰利斯試圖將幾何結果排成邏輯鏈條 (logical chain);排在前面的可以推導出排在後面的,因而有了「證明」的念頭。花了約三百年的時間(從西元前600300年),才將經驗式的幾何精煉成演繹式的幾何。

  古埃及、巴比倫人面對的是個別的、具體的這個或那個幾何圖形。古希臘的泰利斯開始加以抽象化與概念化,研究圖形本身並且給出普遍敘述的幾何命題。這是幾何要成為演繹系統的必要準備工作。

  舉例說明:在日常生活中,車輪子是圓的、月亮也是圓的、……於是逐漸有了「圓形」的概念 (concept)。「圓形」絕不曾跟「方形」混淆。最後抽象出「圓」的理念 (idea):在平面上,跟一定點等距離的所有點,所成的圖形叫做圓;定點叫做圓心,定距離叫做半徑,通過圓心且兩端在圓上的線段叫做直徑。另一方面,我們可以觀察到車輪子由直徑裂成相等約兩半,化成「理念」得到:直徑將圓等分成兩半。這是一個普遍的幾何命題,存在柏拉圖的「理念與形的世界」(the world of ideas and forms)中。古埃及與巴比倫人只見到這個或那個具體的圓形,而希臘人思考的是抽象理念的「圓形」本身。

  在泰利斯的工作基礎上,畢達哥拉斯(約前580年—前500年)和他的門徒們組成了畢達哥拉斯學派,畢達哥拉斯學派提出了更深刻的幾何研究綱領。先分析幾何圖形的結構,結構中有體、體的外表是面、面的邊界是線、線內有點;反過來是綜合,將點移動可成為線,將線移動可成為面,線體。由此觀點來看,點應該是幾何圖形的原子,最基本的組成要素。

  點是幾何圖形的最基本要素,那麼就要問一個問題:點有多大?

由此可以有三個觀點,假設點的長度為d,則d可能有二種情形:

  (1) d =0(2) d>0

  如果d=0,即點沒有長度,那麼就會產生由沒有長度的點累積成有長度的線段,導致「無中生有」之不可思議,局部 (local)與全部(大域global) 之間存在著不可逾越的鴻溝。這不僅僅對畢達哥拉斯學派而言,這是一個解不開的困局,對很多人而言也是很難理解的事。

  因此,畢達哥拉斯學派選擇了d>0,即點雖然很小很小,但是具有一定的長度,像小珠子一樣,線是由許多小珠子串連而成的。而一串串的小珠子的線又編織成面,而片片小珠子的面又堆疊成體。由此觀點來看,所有的幾何圖形都是由小小的原子來組成的,這樣的觀點稱為原子論  (atomism),並將幾何建立在原子論的算術基礎上面。

  換言之,從原子論眼光來看,世界是離散的(discrete)。因此,任何兩線段ab都是「可共度的」(commensurable),即存在一個共同的單位α,使得二條線段成為一種整數的比。

  a=mα b=nα 

  其中mn皆為自然數。因為至少一個點的長度d,就是一個共度單位。最大共度單位可以對ab施行輾轉相除法而求得。於是線段的度量只會出現兩個整數之比,即有理數。

  用「任何兩線段皆可共度」的觀點下,畢達哥拉斯學派認為「萬有皆整數」(All is whole number)的數學世界觀。畢達哥拉斯學派證明了長方形的面積公式、畢氏定理以及相似三角形基本定理,為幾何學奠下算術化的基礎。另一方面,畢氏定理所涉及的直角三角形,三邊長都是有理數,只要乘以分母的公倍數就變成整數邊,因此,畢氏學派想要追尋所有整數邊的直角三角形,乃是順理成章的事情。

           180.png

  那我們準備開始玩石子了!

 

 

文/施朝祥2018.11.30 于廖廍仔莊竹圍仔吉祥自然農場

arrow
arrow
    文章標籤
    科普知識
    全站熱搜

    吉祥農場 發表在 痞客邦 留言(0) 人氣()